Der Zinseszins und der Josephspfennig

Gehören auch Sie zu den Menschen, die gerne darüber fantasieren, wie reich Sie heute wären, wenn Sie vor dreißig, vierzig oder fünfzig Jahren Geld angelegt und vom Zinseszins profitiert hätten? Haben Sie die Vorstellungskraft, um sich auszumalen, über welches Vermögen Sie heute verfügen könnten, wenn Ihre Vorfahren so vorausschauend gewesen wären, für Sie vor mehr als zweitausend Jahren einen einzigen Pfennig zu 4 % Zinsen jährlich anzulegen? Wir wollen diesen Gedankengang anhand des Josephspfennigs durchspielen.

Der Josephspfenning

Es war einmal – Josef eröffnet für Jesus ein Sparkonto mit einem Pfennig Guthaben

Wir stellen uns vor, dass ein glücklicher Josef nach der Geburt seines Sohnes Jesus überlegte, was er tun könnte, um dem Kleinen ein kostbares Geschenk zu machen. Da Josef mittellos war, hatte er nicht viele Möglichkeiten. Schließlich bekam er von einem Kaufmann den Ratschlag, für Jesus einen Pfennig anzulegen und niemals anzurühren, weil durch den Zinseszinseffekt ein Vermögen entstehen wird. Josef ging zur Bank, wo ihm eine Verzinsung von 4 % im Jahr angeboten wurde. Er eröffnete ein Sparkonto und zahlte sogleich einen Pfennig ein. Das Sparbuch gab er Jesus mit der Auflage, dieses zu hüten wie einen Schatz.

Der Josephspfennig wird verzinst und die Zinsen werden verzinst

Uns interessiert, wie viel Geld Jesus heute hätte, wenn er zur Bank ginge, um sich die Zinsen nachtragen zu lassen. Es ist ein beeindruckendes Ergebnis. Hätte Josef im Jahr 0 einen Eurocent zu einer jährlichen Verzinsung von 4 % angelegt, wäre nach 2012 Jahren ein Betrag von 186.671.780.195.916.000.000.000.000.000.000 Euro zustande gekommen. Sie bedauern sicher, dass Ihre Urahnen nicht so umsichtig gewesen waren und für Sie einen Pfennig investiert haben, denn Sie wären heute ein unvorstellbar reicher Mensch. Ein schöner Gedanke, der zum Weiterdenken anregt.

Vermögenszuwachs durch den Zinseszins

Wie hätte sich das Vermögen im Laufe der Jahre entwickelt? Nach 118 Jahren wäre aus 1 Cent ein Euro geworden. Wir finden es beeindruckend, dass sich der Ursprungsbetrag nach knapp 120 Jahren bereits verhundertfacht hat. Schon im Jahr 300 würde der Kontostand auf über 1.000 Euro kommen. Im Jahr 385 wären 35.000 Euro auf dem Sparbuch. Wir wollen es uns spielerischer gestalten und rechnen die 35.000 Euro in ein Kilogramm Gold um. Ab jetzt nehmen wir diesen Goldpreis als Basis und berechnen das Goldvermögen, um eine bessere Vorstellung von dem unermesslichen Reichtum zu bekommen. 561 Jahre nach der Investition von 1 Cent könnte Jesus aus dem Zinseszinsertrag eine Tonne mit Gold füllen.

Je mehr Jahre vergehen, desto größer wird das Guthaben

Im Jahr 812 hätte Jesus einen Goldwürfel mit einer Seitenlänge von 1 Meter. Im Jahr 1165 könnte man den Goldwürfel auf einem Spaziergang ablaufen, denn eine Seite wäre 1 Kilometer lang. Im Jahr 1341 müsste man sich für die Besichtigung ein Fahrzeug besorgen, denn die Seitenlänge wäre auf 100 km angewachsen. Eine Erdkugel in der Größe von 1.083.319.780.000 Kubikkilometer könnte man 1871 formen. Schließlich wäre der Reichtum im Jahr 2012 auf 255 Erdkugeln Gold angewachsen. Wie sollte die Bank diesen Zinseszins aufbringen können, wenn Jesus das Sparbuch vorlegen würde?

Das Vermögen ist dem Zinseszins zu verdanken

Stellen wir uns vor, dass die Bank Josef einen Zinssatz von 5 % angeboten hätte. In diesem Fall wären statt 255 Erdkugeln 58 Milliarden Erdkugeln aus dem Josephspfennig entstanden, dies ist für unser Gehirn nicht mehr vorstellbar. Deutlich wird, wie lukrativ der Zinseszins ist. Ohne die Zinsen auf die Zinsen hätte Jesus einen Zinsertrag von nur 1 Euro. Die Formel für den Zinseszins ist eine exponentielle Funktion: Kn=K0?(1+p/100)n. Das Endkapital Kn ergibt sich aus dem Anfangskapital K0 multipliziert mit dem in der Klammer errechneten Zinssatz (1+p/100), multipliziert mit der Laufzeit n, wobei p den Zinssatz und n den Exponenten darstellt.

Zinsexplosion durch den Zinseszins

Je höher die Anzahl der Jahre, desto stärker wirkt der Zinseszins. Gegen Ende der Berechnung kommt es aufgrund der Exponentialfunktion zu einer extremen Zinsertragsteigerung. Unsere Wirtschaftsentwicklung ist im Gegensatz dazu eine lineare Funktion, eine gleichmäßige Steigung durch ein jährliches Wachstum von beispielsweise 2 %. Real ist es unmöglich, in dieser Welt durch ein Wirtschaftswachstum die Zinseszinsen abzugleichen, es muss folglich zu Finanzkrisen kommen.

Das achte Weltwunder des Zinseszins-Effektes

Schauen wir uns das mal genauer an: Wenn auf den Josephspfennig 5 % Zinsen pro Jahr gezahlt würden, hätte er nach einem Jahr auf dem Sparkonto 1,05 Pfennig. Durch den Basis-Zins allein wächst das Vermögen also um 0,05 Pfennig pro Jahr. Auf 2000 Jahre gerechnet, hätte der Pfennig also in Summe nur 2000 x 0,05 = 100 Pfennig an Zinsen gebracht, und Jesus hätte zur Jahrtausendwende nur 101 Pfennig auf dem Konto.

Dagegen der Unterschied beim Zinseszins: Auf die im ersten Jahr gezahlten 0,05 Pfennig gibt es im nächsten Jahr auch wieder 5 % Zinsen. Nach dem ersten Jahr ist auf dem Sparkonto also zuerst das gleiche Guthaben:

(a) 1 Pfennig x (1 + 5 %) = 1,05 Pfennig

Nach dem zweiten Jahr werden die 1,05 Pfennig wiederum komplett zu 5 % mit verzinst und ergeben

(b) 1,05 Pfennig x (1 + 5 %) = 1,1025 Pfennig

Für die 1,05 Pfennig in Formel (b) könnten wir aber wieder schreiben: 1 Pfennig x (1 + 5 %)

und für das Guthaben nach einer Laufzeit von zwei Jahren somit auch

(c) 1 Pfennig x (1 + 5 %) x (1 + 5 %) = 1,1025 Pfennig

Sie sehen vielleicht schon wohin das führt: Wenn wir berechnen möchten, wieviel Geld Jesus nach vier Jahren auf dem Konto hätte, würden wir rechnen

(d) 1 Pfennig x (1 + 5 %) x (1 + 5 %) x (1 + 5 %) x (1 + 5 %) = 1,2155 Pfennig

oder anders geschrieben als exponentieller Ausdruck:

(e) 1 Pfennig x (1 + 5 %) ^4 = 1,2155 Pfennig

Allgemein können wir sagen, dass Jesus im Jahr n (was jetzt jede beliebige Jahreszahl größer oder gleich Null sein könnte) den Betrag

(f) 1 Pfennig x (1 + 5 %) ^n

auf dem Konto hat.

Die Formel für den Zinseszins

Davon abgeleitet, können wir damit die allgemeine Formel für den Zinseszins aufstellen. Für das Guthaben auf dem Konto nach n Anlagenjahren (Kn) ergibt sich bei einem jährlichen Zinssatz p in Prozent (in unserem Beispiel: 5) und einem anfänglich eingezahlten Kapital “im Jahre Null” K0 (in unserem Beispiel: 1 Pfennig):

(g) Kn = K0 x (1 + p/100) ^n

(gelesen “Kn ist gleich K0 mal (1 plus p durch hundert) hoch n”).

Das exponentielle Wachstum beim Zinseszins ist schwer vorstellbar.

Dieses exponentielle Wachstum sind wir als Menschen nicht gewohnt. Wir kennen eher lineares Wachstum, wie das Beispiel ohne Zinseszins in welchem Jesus pro Jahr nur 0,05 Pfennig mehr auf dem Konto hat. Am Anfang sind lineares und exponentielles Wachstum auch noch nicht so unterschiedlich. Vergleichen wir mal das Guthaben nach vier Jahren in unseren Beispielen: Ohne Zinseszins 1,20 Pfennig, und mit Zinseszins 1,2155 Pfennig. Das ist nicht wirklich viel Unterschied über diese Zeitspanne. Aber über längere Zeiträume hinweg führt exponentielles Wachstum plötzlich überraschend – obwohl vorherberechenbar – zu einem gewaltigen Zuwachs im Vergleich zum linearen Wachstum. Das können wir uns nicht mehr vorstellen!

Wir seien vielleicht durch Geschichten wie der Sage vom Reisbrett daran erinnert: Ein Bauer erbat vom König, der ihm einen Gefallen schuldete, für jedes Feld auf einem Schachbrett zuerst ein Reiskorn auf das erste, dann auf das nächste zwei Reiskörner, auf das nächste vier, dann acht usw. zu legen.

Dieser Wunsch wirkt zunächst bescheiden, bis man ausrechne,t wie viele Reiskörner am Ende, wenn das 64te Feld des Schachbretts so belegt würde, kommt: Die Menge an Reis würde den gesamten Weltvorrat übersteigen (und der Bauer würde sicher nie wieder hungrig sein!).

Dieses unglaubliche Anschwellen durch exponentielles Wachstum hat Albert Einstein auch dazu gebracht den Zinseszins-Effekt als “das achte Weltwunder” der Finanzmathematik zu bezeichnen.